Đi xa ngàn dặm bắt đầu từ một bước chân

Đạo đức kinh

Tiểu luận này trình bày những cách hiểu khác nhau trong lịch sử của khoa học tự nhiên ¹ về cái không và cái chân không – bằng cách sử dụng khái niệm mô hình. Khái niệm then chốt của khoa học luận này ít khi được nhấn mạnh đầy đủ, có lẽ do hai lý do trái ngược nhau: hoặc như các nhà khoa học, coi đó là hiển nhiên vì phải vận dụng hàng ngày; hoặc không hề để ý đến nó do truyền thống văn hoá, không phân biệt hai thế giới khác nhau của ý thức và vật chất. Sơ bộ, thao tác mô hình hoá là việc dùng một ngôn ngữ chính xác để mô tả và khảo sát sự vật. Xin trở lại với nó rõ hơn sau.

Có thể hiểu một lý thuyết khoa học như sự mô hình hoá các hiện tượng cơ bản của thế giới vật chất bằng cách phát biểu các quy luật của nó. Những quy luật này trở thành những tiên đề, và để áp dụng những tiên đề trong một hoàn cảnh đặc thù cần diễn dịch nó chung với những tham số của hoàn cảnh đó để rút ra những kết luận hữu ích. Thí dụ như người ta có thể từ định luật hấp dẫn vũ trụ của Newton và những đặc điểm của thái dương hệ để suy ra việc làm vệ tinh nhân tạo. Ngôn ngữ khoa học vì thế thường được gọi là một hệ thống tiên đề - diễn dịch.

Ngôn ngữ có tính hệ thống, các khái niệm tự xác định ý nghĩa lẫn nhau trong một quan hệ tổng thể. Nhưng ngôn ngữ nói chung không chỉ có tính hệ thống; một mặt ý nghĩa của các khái niệm thay đổi với thời gian, và mặt khác các từ ngữ trừu tượng dùng cho những khái niệm mới thường thoát thai từ những từ ngữ và khái niệm có sẵn; do đó mỗi khái niệm thường phải được đặt trong một "vùng ngữ nghĩa" nào đó mà những người đối thoại cần hiểu ngầm với nhau, và không chắc như nhau...

Với tính chất tiên đề - diễn dịch hoàn toàn chặt chẽ và chính xác, người ta có thể nghĩ rằng ngôn ngữ khoa học có tính hệ thống tuyệt đối, không có quá khứ, một ngôn ngữ lý tưởng để mọi người đều hiểu như nhau. Tuy nhiên, trong nghĩa rộng, ngôn ngữ mà các nhà khoa học dùng để suy tư, sáng tạo, và thảo luận với nhau, thì không hẳn thế. Những khái niệm căn bản nhất, trên đó khoa học chính xác đã xây dựng được những hệ thống tiên đề - diễn dịch rất bao quát và thống nhất như hiện nay, chẳng hạn như : cái có và cái không, khẳng định và phủ định... vẫn thoát thai từ trực giác. Có từ lâu đời trên mọi nơi của địa cầu, những trực giác ấy đã được phát triển thành khái niệm theo những hướng khác nhau.

Do đó ngôn ngữ khoa học không chỉ là một mớ những khái niệm ròng lý thuyết, mà ở nơi sâu thẳm nhất nó còn vương vấn những sắc thái văn hoá đặc thù. Trong một giai đoạn ổn định, các sắc thái ngôn ngữ ấy đã được vượt qua và không còn ảnh hưởng gì trong khoa học. Nhưng đến khi có khủng hoảng, thí dụ với những nghịch lý của cơ học lượng tử, thì đào sâu nhận thức về thế giới tự nhiên còn là đào sâu vào nền tảng của tư tưởng ², và khi đó những sắc thái văn hoá đặc thù của ngôn từ có thể xuất hiện trở lại : người ta đã nhận thấy điều ấy trong những luận thuyết về một sự tương hợp nào đó của tư tưởng Á Đông ³ và khoa học hiện đại... Điều cần trân trọng ở đây là ý thức về sự dung hợp văn hoá đó, tối cần thiết và khẩn cấp trong thời đại toàn cầu hoá kinh tế hiện nay. Nhưng chính vì thế có lẽ nên nhận định rõ đâu là ước mong và đâu là thực tế.

Có chắc gì những từ tương đương giữa các ngôn ngữ – như hư vô / néant, chân không / vide... – đã được cảm nhận hoàn toàn như nhau giữa một người thấm nhuần văn hoá Á Đông và một nhà khoa học Tây phương ? trong cuộc đối thoại giữa một thiền sư và một nhà vật lý lý thuyết ? Ở đây sự đồng cảm đích thực sẽ rất quý giá, nhưng chắc không dễ dàng. Tác nhân của những hiểu lầm và ảo tưởng có thể xẩy ra, ngoài cái bất đối xứng về sức mạnh vật chất giữa Á Đông và Tây phương – nguồn gốc của những mặc cảm có khả năng bóp méo nhận định và suy luận – , còn là sức nặng lịch sử của ngôn từ. Cho nên tưởng cũng không thừa nếu chúng ta bắt đầu con đường đi đến đồng cảm và dung hợp ấy bằng cách tìm hiểu ý nghĩa trong khoa học hiện đại của những ngôn từ / khái niệm cơ bản, dựa trên những trực giác sâu thẳm, như cái có và cái không...

Tiểu luận này gồm ba phần chính, phần đầu tóm lược một đặc tính của khoa học có liên quan tới chủ đề, đó là sự chấp nhận hiện thực khách quan, và coi hoạt động khoa học là sự mô hình hoá hiện thực khách quan đó; phần hai dựa trên đặc tính này để phát triển rõ hơn các khái niệm "không" và "hư vô" trong luận lý học và toán học, và phần ba trình bày những quan niệm về "chân không" như một đặc tính của không gian chúng ta đang sống, với những biến chuyển trong lịch sử khoa học.

1. Thực tại và mô hình

1.1. Có chăng Hiện thực khách quan ?

Để mọi người có thể đồng ý với nhau trên câu hỏi "hiện thực là cái gì ?" "có chăng một hiện thực khách quan ?" thật không dễ. Trong khung cảnh khoa học tự nhiên của tiểu luận này, xin chỉ có vài phân biệt ngắn gọn, rồi hy vọng các thuật ngữ sẽ phần nào tự xác định rõ thêm trong các ngữ cảnh. Theo thiển ý có ba cách hiểu chữ "hiện thực" :

Một là tất cả những hiện tượng vật chất của đời thường, mà mọi người có lý trí và giác quan bình thường đều nắm bắt được. Xin gọi chung là "hiện thực vật chất nghiệm sinh" ("hiện thực", nếu ngữ cảnh cho phép) theo nghĩa đó là tất cả những hiện tượng cụ thể trong nghiệm sinh của con người, cảm nhận được bằng giác quan, trực tiếp hay gián tiếp qua đo lường.

Hai là một cái gì bao trùm tất cả, vừa sâu sắc hơn, vừa thống nhất hơn, vừa đơn giản hơn "hiện thực vật chất nghiệm sinh" nói trên, nó "nằm ở đằng sau", và làm nảy sinh mọi hiện tượng. Xin gọi nó là "bản thể của hiện thực", nói gọn là "bản thể" trong ngữ cảnh của tiểu luận này. Đây không phải là "bản thể" theo nghĩa triết học, mà ở đây không đề cập đến. "Bản thể của hiện thực", vì không thể được trực tiếp nghiệm sinh, chỉ thuần tuý là một khái niệm sơ khởi, mà việc có thể được hiểu toàn bộ và thấu đáo hay không, là tuỳ thuộc niềm tin của từng người.

Cách hiểu thứ ba gộp hai cách hiểu trên làm một, cho rằng mọi hiện tượng vật chất đều đã được khoa học giải thích thoả đáng và đầy đủ bằng một số quy luật cơ bản và thống nhất. Hiện tượng chỉ là sự biểu hiện của bản thể, người ta giải thích được tại sao và như thế nào các hiện tượng nảy sinh, cũng như biết đi ngược từ hiện tượng đến bản thể, tuy không thể chính xác 100% do giới hạn của các công cụ đo lường. Đây là cách hiểu của một thời khi người ta nghĩ rằng khoa học đã giải thích được tất cả, chỉ còn một vài vấn đề nhỏ... xin gọi cách hiểu như thế là sự khẳng định "hiện thực tuyệt đối".

Khoa học chỉ nói về các hiện tượng, cho nên thế giới vật chất mà các nhà khoa học mô tả nếu hiểu một cách nghiêm ngặt thì chỉ là hiện thực hiểu theo nghĩa thứ nhất nói trên. Nhưng trong tinh thần khoa học có một niềm tin tiên thiên (a priori) sâu hơn thế: thế giới hiện tượng này là biểu hiện của một bản thể tồn tại và biến chuyển theo những quy luật độc lập với ý thức con người, biết được xuyên qua việc khảo sát hiện thực nghiệm sinh. Cho đến nay chưa có luận cứ có tính thuyết phục nào đi ngược lại niềm tin này ⁴. Xin gọi đó là niềm tin về hiện thực khách quan. Niềm tin này không hẳn là niềm tin vào một hiện thực tuyệt đối.

Đại đa số các nhà khoa học, trong hoạt động khoa học của mình, luôn luôn hành xử với niềm tin về hiện thực khách quan, vì chính hoạt động khoa học là sự tìm hiểu những mối liên hệ nhân quả giữa các hiện tượng. Có thể coi những quy luật nhân quả đó như sự biểu hiện của "một cái gì đó" mà ta đã gọi là "bản thể", vì nếu giữa hai hiện tượng chỉ là hư vô, thì không thể có một quy luật nhân quả nào nối liền chúng với nhau. Thí dụ khi người ta bắn một hạt điện tử (electron) lên một màn huỳnh quang, chỉ biết lúc bắn ra và lúc nó chạm vào màn huỳnh quang thì nó có những tính chất vật lý đã đo được, ở hai thời điểm đó có hai hiện tượng mà ta gọi là điện tử; giữa hai thời điểm đó ta vẫn gọi "nó" là điện tử, nhưng thực ra không biết "nó" là cái gì. Tuy nhiên "nó" hiện hữu và biến chuyển theo một quy luật khách quan mà người ta đã dùng để làm nên màn ảnh huỳnh quang hiện ra phong cảnh đẹp đẽ. Khái niệm bản thể hiểu như thế không thể được coi là trống rỗng.

Mặt khác, những mô hình toán học hiện đại dùng để biểu diễn các quy luật và tiên đoán các hiện tượng trở nên rất khác biệt với chúng, phức tạp, kỳ lạ và đi ngược lại trực giác. Do đó có những nhà khoa học lớn phủ nhận bất cứ cái gì "đằng sau" hiện thực nghiệm sinh. Theo thiển ý, có lẽ những phát biểu đó phản ảnh sự bất lực của lý trí trước những nghịch lý của vật lý hiện đại, từ đó đi quá đà đến sự phủ nhận bản thể. Theo những phân tích ở trên, đây thực chất là phủ nhận hiện thực tuyệt đối.

Có một số quan điểm thoạt đầu nghe rất khác niềm tin về hiện thực khách quan, nhưng thực ra không khác. Thí dụ như : cái thế giới vật chất duy nhất này chỉ là một ảo tưởng chung, liên chủ quan (intersubjectif – tuy thuộc chủ quan của mỗi người, nhưng lại đồng nhất với nhau), của mọi sinh vật có ý thức. Sở dĩ thế giới đó mang những trạng thái và những quy luật xác định được cũng như tiên đoán được, là vì tất cả các sinh vật có ý thức có cùng chung những ảo tưởng, do đã trải qua cùng những quan hệ nhân quả (có thể gọi cái Ý Thức lớn, viết hoa, mẫu số chung của mọi ý thức cá nhân đó là "cộng nghiệp"). Nhưng như thế không có gì cho phép phân biệt hiện thực và ảo tưởng. Nếu ảo tưởng (kể cả sống, chết, mất, còn) là của tất cả, thì ảo tưởng cũng là hiện thực sắt đá của tất cả:

Cho nên nếu hiểu niềm tin "cộng nghiệp" như thế thì nó hoàn toàn có thể được đồng hoá với niềm tin thứ ba này : Thượng Đế đã sáng tạo tất cả vũ trụ cách đây bốn nghìn năm trước (mà nói chỉ một sát na trước thì cũng không khác), rồi sau đó Thượng Đế không can thiệp vào thế giới vật chất nữa; sáng tạo ấy bao gồm tất cả những quy luật vật lý cũng như tất cả các chi tiết hợp quy luật cho phép người ta nghĩ rằng vũ trụ đã có từ 13 tỷ năm trước, và loài khủng long đã để lại những bộ xương từ hơn một trăm triệu năm. Sự khác biệt chỉ nằm ở nguồn gốc của hiện thực khách quan, một vấn đề siêu hình.

Thế giới của ý thức bao gồm những cảm giác và những khái niệm diễn ra trong tâm tư và trí tuệ con người, có thể được biểu thị qua hành động hay trao đổi với nhau qua ngôn ngữ. Thế giới ý thức vừa có ảnh hưởng hỗ tương, vừa độc lập tương đối với thế giới vật chất. Ý thức dĩ nhiên có thể làm thay đổi thế giới vật chất, nhưng để làm được điều đó cho đến nay nó phải vận dụng những quy luật độc lập với nó của thế giới vật chất. Niềm tin về hiện thực khách quan được hình thành do con người đã tích tụ những kinh nghiệm ngày càng phủ định về tác động của ý thức lên thế giới vật chất một cách trực tiếp, không thông qua môi giới vật chất.

Một trong những bí ẩn đầu tiên, có thể nói là huyền bí, của cơ học lượng tử (CHLT) là hiện tượng lưỡng tính hạt và sóng, điều đó khiến cho những nhà khai phá hàng đầu như Bohr và Heisenberg đã có những tuyên bố dễ làm người ta hiểu lầm về vai trò của ý thức, nhưng thực ra trong ngữ cảnh của những tuyên bố này luôn luôn có sự hiện diện của môi giới vật chất, đó là các thí nghiệm cụ thể với các thiết bị đo lường cụ thể, một cấu hình thí nghiệm nào đó sẽ cho thấy tính chất hạt của lượng tử (hay nguyên tử), và một cấu hình khác sẽ cho thấy tính chất sóng của nó ⁶. Nhưng tại sao lại có hai hiện tượng – của tự nhiên, độc lập với ý thức người quan sát – bất nhất như thế ? Làm sao có được cái nhìn về thế giới vật chất dung hợp được những hiện tượng mà thuyết tương đối (TTĐ) và CHLT đã thiết lập ? Theo thiển ý, hiện nay chưa ai trả lời được rốt ráo những câu hỏi loại này. Chính vì thế chúng ta càng nên thận trọng phân biệt rõ bản thể – hiểu trong tính tổng thể và tính thống nhất của nó, và vẫn còn nằm ở chân trời phía xa – với những mô hình mô tả được những khía cạnh khác nhau của hiện thực, rất hiệu quả và là nguồn gốc của cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật vũ bão hiện nay, tuy chưa có một mô hình hoàn chỉnh và tổng thể để cho phép hiểu hiện thực (một cách) tuyệt đối.

1.2. Mô hình và giới hạn của mô hình

Trong nghĩa thông thường, "mô hình hoá" một hiện tượng nào để khảo sát nó, là dùng một ngôn ngữ chính xác để mô tả hiện tượng ấy trong những khía cạnh liên hệ và bỏ đi những mặt không liên hệ đến mục đích khảo sát, đây chính là "trừu tượng hoá" hiểu theo nghĩa đen, vì "trừu tượng" nguyên nghĩa là giữ lại cái đặc trưng, đã được dùng để dịch "abstraction" mà nguyên nghĩa là bỏ đi cái không cần thiết. Nhưng mô hình hoá không phải chỉ là giữ và bỏ mà còn là thêm vào.Chính vì qua việc khu biệt hoá và thuần khiết hoá những lớp bài toán đặc thù, nó là một công cụ cho phép hiểu rõ hiện thực hơn, từ đó khám phá những những quy luật còn bị ẩn dấu của tự nhiên, giải thích những hiện tượng chưa giải thích được, khám phá những hiện tượng mới. Mặt khác, bản thể của hiện thực, nếu hiểu được, phải thống nhất và bao trùm, nhưng mô hình cho một khía cạnh nào đó của hiện thực thì không cần như thế, tuy sự tìm hiểu hiện thực ngày càng được mở rộng, để hy vọng đi đến một mô hình tổng thể.

Khái niệm "mô hình", rất quen thuộc trong văn hoá Tây phương, hình như hoàn toàn vắng bóng trong văn hoá Á Đông. Có thể coi khái niệm mô hình bắt nguồn từ "thế giới ý tưởng" của Platon ⁷. Nếu không quen với khái niệm triết học này người ta rất dễ đánh đồng thực tại với mô hình của thực tại, là những lý thuyết khoa học, vì thông thường người ta chỉ có thể nói với nhau về thực tại bằng ngôn ngữ khái niệm, tức ngôn ngữ của mô hình. Đến khi phải dùng những cách nắm bắt thực tại khác nhau cho những hoàn cảnh thực nghiệm khác nhau... người ta mới không khỏi vò đầu bứt trán : tại sao thực tại khi thì thế này, khi thì thế kia ? khi thì là hạt, khi thì là sóng ? Nếu đổi lại thành một câu hỏi chính xác hơn : tại sao mô hình của thực tại lại khi thế này khi thế kia... thì có lẽ dễ thở hơn, ít ra về mặt tâm lý.

Sau đây là một thí dụ phổ biến của sự đánh đồng thực tại với mô hình, rồi từ đó đi đến ngộ nhận: người ta nói đến "hiệu ứng cánh bướm" (một con bướm vỗ cánh ở Brasil liệu có thể gây nên bão tố ở Texas) như là thí dụ của việc một nguyên nhân nhỏ có thể gây nên hậu quả lớn. Vậy có gì lạ đâu ? đó là một hiện tượng ai cũng biết, tục ngữ có câu "rút dây động rừng". Ý nghĩa của câu nói này không phải thế, không có một quan hệ nhân quả nào giữa một con bướm cụ thể nào và cơn bão; mỗi lúc tại Brasil có hàng triệu con bướm vỗ cánh, vậy con bướm nào gây ra bão tố đây ? "Hiệu ứng cánh bướm" không nói đến điều ấy, mà nói đến khả năng có hạn của mô hình khoa học trên một số bài toán, đặc biệt bài toán dự báo khí tượng. Do vì, từ khác biệt ban đầu rất nhỏ (như cái vỗ cánh của một con bướm) mô hình sẽ cho ra những kết quả khác biệt rất lớn (như có bão hay không có bão) sau một thời gian nào đó, cho nên khi đó mô hình trở thành vô ích. Khi hiểu đúng văn cảnh ⁸ của ẩn dụ nổi tiếng này thì con bướm và bão tố đều chỉ là những hình tượng văn vẻ (và rất đáng tiếc dễ gây hiểu nhầm) cho các đại lượng trừu tượng trong mô hình, không phải những hiện tượng thật. Điều oái oăm ở đây là hình ảnh quá cụ thể này đã đẩy người ta vào cái sai lầm mà chính nó muốn nói đến.

Thực vậy, về mặt nhận thức luận ý nghĩa của "hiệu ứng cánh bướm" quan trọng hơn rất nhiều cách hiểu "rút dây động rừng". Đó là : không thể dự báo (cũng có nghĩa là không thể tác động đến như ý muốn) về tương lai lâu dài của một số hệ thống. Sự bất lực có tính lý thuyết này có hệ luận là : trên thực tế không thể đánh đồng thực tại với mô hình, và sẽ không bao giờ làm được như thế. Khoa học luận hiện đại cần chúng ta có ý thức thường trực và rõ rệt về sự phân biệt này. Chúng ta có thể tin tưởng hay không là một ngày nào đó sẽ có một lý thuyết bao quát và thống nhất về thực tại trên mọi khía cạnh ⁹ – khi đó sẽ có thể nói là con người đã hoàn toàn hiểu thế giới vật chất – , nhưng dù có như thế thì sự áp dụng lý thuyết đó trên một số khía cạnh thực tế để dự phóng về tương lai cũng sẽ chỉ cục bộ và giới hạn trong một khoảng thời gian nhất định. Trong một số bài toán hiện nay có thể nói : tiên đoán được không có nghĩa là hiểu, nhưng trong một số bài toán khác thì mãi mãi hiểu cũng không có nghĩa là tiên đoán được quá xa.

2. Chữ "không" trong luận lý học và toán học

Lôgích học là công cụ của toán học, nó cho phép bảo đảm tính chặt chẽ khi xây dựng một lý thuyết toán. Và, trong phạm vi của tiểu luận này, toán học là công cụ của vật lý học, nó cho phép xây dựng những mô hình của thực tại với những đại lượng cơ bản nhất như không gian, thời gian, năng lượng, vật chất... và những quy luật tương tác giữa những đại luợng ấy. Những mô hình thích hợp với thực nghiệm sẽ cho phép quan sát hay/và tác động lên thực tại, rồi tiên đoán chính xác kết quả... Do đó khoa học trở thành nguồn gốc của những tiến bộ kỹ thuật đã làm thay đổi đến chóng mặt cuộc sống con người.

Trong mối liên hệ đa tầng đó, chữ "không" vừa vẫn mang cái trực giác ban đầu : ngược lại với "có một cái gì" là "không có gì cả", vừa mang những sắc thái khác nhau vì mỗi tầng của cái cấu trúc trí tuệ đó có những đối tượng riêng. Trước hết, để khảo sát thế giới cần một ngôn ngữ ngắn gọn và chính xác, đó là ngôn ngữ toán học. Từ đầu thế kỷ thứ 17 sau tuyên ngôn nổi tiếng của Galileo Galilei (1564-1642) "cuốn sách của tự nhiên được viết bằng ngôn ngữ toán", các nhà bác học đã tìm ra nhiều quy luật của tự nhiên trong cơ học, quang học, hoá học, điện từ học... và những quy luật rất hiệu quả ấy là cơ sở cho sức mạnh vật chất của phương Tây. Công cụ toán học cần thiết cho việc khám phá những quy luật đó và phát triển chúng cho những tính toán ứng dụng, chính là toán vi tích phân, đồng thời được Newton và Leibniz sáng tạo độc lập với nhau. Nhưng khởi đầu toán vi tích phân được các nhà vật lý vận dụng một cách tương đối không chặt chẽ, công cuộc phát triển toán học kéo dài trong suốt các thế kỷ 17, 18 cho đến cuối thế kỷ 19 mới coi như làm chủ được hoàn toàn cái vô cùng tận hiện hữu (infinité réelle) ¹⁰, cần thiết cho toán vi tích phân để định nghĩa rõ rệt thế nào là sự liên tục của không gian. Để đặt nền móng lý luận chặt chẽ cho toán học, ngành học về lôgích có từ thời Aristotle đã phát triển mạnh trở lại, nó có tên mới là "toán luận lý" (logique mathématique) hay "luận lý học hình thức" (logique formelle), để cho gọn xin gọi là lôgích học. Kết quả là toán học đã được xây dựng trên nền tảng của thuyết tập hợp tiên đề hoá ¹¹ (théorie axiomatique des ensembles); nằm giữa hai tầng cấu trúc tri thức, nó vừa được coi là toán học vừa được coi là lôgích học. Cuộc xây dựng thuyết này khá trắc trở, phải vượt qua nhiều nghịch lý (paradoxes) mới được chặt chẽ như ngày nay.

Tính chặt chẽ này được bảo đảm bằng một phương pháp hai giai đoạn, dĩ nhiên "hai giai đoạn" ở đây không hàm ý trước sau theo thời gian mà chỉ là một thứ tự thuần lý.

Giai đoạn thứ nhất là xây dựng thuyết tập hợp tiên đề hoá bằng lôgích học, trong giai đoạn này một thuyết tập hợp hạn chế, hay thuyết tập hợp hồn nhiên (naif), được sử dụng. Điều mặc nhiên được công nhận là như sau : đối tượng của lôgích học chỉ là những chuỗi ký hiệu (của toán học hay của bản thân lôgích học), trong một tập hợp hữu hạn (hữu hạn cũng có nghĩa là rời rạc), mà trong khung cảnh hữu hạn thì trực giác con người là tuyệt đối giống nhau khi nhận biết, lý luận và tính toán (đi từ một chuỗi ký hiệu này đến một chuỗi ký hiệu khác) một cách hồn nhiên. Thêm nữa, tuy lôgích học hình thức không dùng đến khái niệm vô tận, nó không cần và không thể xác định con số hữu hạn của những ký hiệu là bao nhiêu. Trong bài này xin dùng thuật ngữ "thế giới diễn ngôn" để chỉ tập hợp tất cả các mệnh đề đúng cú pháp viết bằng các ký hiệu lôgích và toán học, trong một lý thuyết tiên đề - diễn dịch. Đây quả thực là một ngôn ngữ có tính hệ thống tuyệt đối, không quá khứ, như đã nói ở đầu bài.

Giai đoạn thứ hai: với những chuỗi ký hiệu, mà sự vận dụng theo lôgích chỉ cần cái trực giác hồn nhiên nói trên, không những người ta xây dựng được trongthuyết tập hợp tiên đề hoá những tập hợp có vô tận phần tử, mà còn xây dựng được nhiều loại vô tận khác nhau, cái vô tận "đếm được", và cái vô tận liên tục. Những tập hợp vô tận này là khởi đầu của việc "xây dựng" được những lý thuyết toán học đáp ứng được việc mô hình hoá không gian, thời gian... và những quy luật vật lý. Thực ra những lý thuyết này đã có từ trước, hoặc được sáng tạo theo nhu cầu áp dụng, hoặc như những sáng tạo trừu tượng đi trước yêu cầu; chữ "xây dựng" viết ở đoạn trên, do đó, chỉ có nghĩa là củng cố chặt chẽ về mặt lý luận mà thôi.

2.1. Chữ "không" trong Luận lý học hình thức

Thuyết tập hợp hồn nhiên chỉ là sự phát biểu lại những nguyên tắc lý luận đã có từ cổ đại, theo một cách khác. Thí dụ tam đoạn luận nổi tiếng : "làm người ai cũng phải chết, Socrate là người, vậy Socrate cũng phải chết", có thể được phát biểu như sau : "Tập hợp người nằm trong tập hợp những thực thể sẽ phải chết, Socrate là một phần tử của tập hợp người, vậy thì Socrate cũng có trong tập hợp những thực thể sẽ phải chết". Như thế mọi lý luận được đưa về một loại quan hệ độc nhất : quan hệ "có trong" giữa một phần tử và một tập hợp. Một quan hệ phái sinh rất thuận tiện, định nghĩa được từ quan hệ đầu, là quan hệ "nằm trong" giữa hai tập hợp.

Đó chỉ là một cách nhìn, nhưng cách nhìn này đưa đến nhiều thuận lợi:

1. 
   

   Viết ra được những ký hiệu ngắn gọn: thí dụ  (phần tử a có trong tập hợp A),  (tập hợp B nằm trong tập hợp A)...

   
   


2. 
   

   Xác định được rõ ràng ý nghĩa của những khái niệm lôgích căn bản : phủ định, hay, và, dẫn đến...

   
   


3. 
   

   Tránh được những nghịch lý do sự thiếu chặt chẽ của những lý luận bằng ngôn ngữ tự nhiên đưa đến,

   
   


4. 
   

   Và sau cùng, ở thời đại chúng ta không thể không nhấn mạnh : những thao tác trên các ký hiệu do đó hoàn toàn có thể tự động hoá được. Khả năng này được sử dụng đại trà trong các máy tính điện tử dưới nhiều hình thức.

   
   

Thí dụ chuỗi ký hiệu : 

được đọc như sau : điều kiện cần và đủ (xem ký hiệu 1) để B nằm trong A là, với bất cứ phần tử x nào (xem ký hiệu 2), nếu x có trong B thì x cũng có trong A (xem ký hiệu 3). Bằng một một số rất nhỏ các thao tác hoàn toàn máy móc để thay đổi các ký hiệu, người ta (hay máy tính) có thể "nhắm mắt" viết chuỗi ký hiệu: 

Bảng A: Mô hình hoá và hiện thực